EE261 Lecture 12

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这次回顾第十二讲，这一讲对傅里叶变换加以推广。

上一讲定义了快速递减函数集$\mathcal S$，现在考虑作用在其上广义函数（也称为缓增分布（tempered distributions））$\mathcal T$。有两种视角看待增缓分布，分别如下

1. 将增缓分布定义为$\mathcal S$中函数的极限
2. 根据对$\mathcal S$中函数操作定义增缓分布

将分布视为极限

考虑高斯函数

$$g(x, t)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi t}} e^{-x^{2} / 2 t}, \quad t>0$$

将$\delta$函数视为上式的极限

$$\delta(x)=\lim _{t \rightarrow 0} g(x, t)$$

现在考虑分布对应函数的操作

$$\langle g(x, t), \varphi\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} g(x, t) \varphi(x) d x$$

利用泰勒展开不难得到

$$\lim _{t \rightarrow 0} \int_{-\infty}^{\infty} g(x, t) \varphi(x) d x=\varphi(0)$$

从而

$$\langle\delta, \varphi\rangle=\lim _{t \rightarrow 0} \int_{-\infty}^{\infty} g(x, t) \varphi(x) d x=\varphi(0)$$

注意到$\delta $函数的性质如下：

• $\delta(x)=0 \text { for } x \neq 0$
• $\delta(0)=\infty$
• $\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x) d x=1$

而这与$g(x,t)$的极限情形相对应：

• $\lim _{t \rightarrow 0} g(x, t)=0 \text { if } x \neq 0$
• $\lim _{t \rightarrow 0} g(0, t)=\infty$
• $\int_{-\infty}^{\infty} g(x, t) d x=1$

将分布视为线性泛函

另一种视角是直接考虑分布的作用，例如$\delta $的作用为

$$\langle\delta, \varphi\rangle=\varphi(0)$$

完整的定义如下：

增缓分布：增缓分布$T$为定义在$\mathcal S$（测试函数）上的复值连续线性泛函。我们将$T$构成的集合表示为$\mathcal T$。

利用定义我们可得：

1. 如果$\varphi$属于$\mathcal S $，那么$T(\varphi)$是复数。我们常用$\langle T, \varphi\rangle$表示$T$作用在$\varphi $上

2. 增缓分布为作用在测试函数上的线性算子：

   $$T\left(\alpha_{1} \varphi_{1}+\alpha_{2} \varphi_{2}\right)=\alpha_{1} T\left(\varphi_{1}\right)+\alpha_{2} T\left(\varphi_{2}\right)$$

   另一种记号为

   $$\left\langle T, \alpha_{1} \varphi_{1}+\alpha_{2} \varphi_{2}\right\rangle=\alpha_{1}\left\langle T, \varphi_{1}\right\rangle+\alpha_{2}\left\langle T, \varphi_{2}\right\rangle$$

3. 增缓分布连续：如果$\varphi_n $是$\mathcal S $中的序列，并且$\varphi_n \to \varphi, \varphi\in \mathcal S$，那么

   $$T\left(\varphi_{n}\right) \rightarrow T(\varphi), \quad \text { also written } \quad\left\langle T, \varphi_{n}\right\rangle \rightarrow\langle T, \varphi\rangle$$

注意到，$T_1,T_2$相等，当且仅当它们作用在所有测试函数的结果相等：

$$T_{1}=T_{2} \quad \text { if } \quad T_{1}(\varphi)=T_{2}(\varphi) \quad\left(\left\langle T_{1}, \varphi\right\rangle=\left\langle T_{2}, \varphi\right\rangle\right) \quad \text { for all } \varphi \text { in } \mathcal{S}$$

函数诱导的分布

假设函数$f(x)$使得

$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \varphi(x) d x$$

对所有$\varphi (x)\in \mathcal S$都存在，那么$f$由如下公式决定了分布$T_f$

$$\left\langle T_{f}, \varphi\right\rangle=T_{f}(\varphi)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \varphi(x) d x$$

现在检验该分布是否满足定义。

性质2：

$$\begin{aligned}\left\langle T_{f}, \alpha_{1} \varphi_{1}+\alpha_{2} \varphi_{2}\right\rangle &=\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\left(\alpha_{1} \varphi_{1}(x)+\alpha_{2} \varphi_{2}(x)\right) d x \\ &=\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \alpha_{1} \varphi_{1}(x) d x+\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \alpha_{2} \varphi_{2}(x) d x \\ &=\alpha_{1}\left\langle T_{f}, \varphi_{1}\right\rangle+\alpha_{2}\left\langle T_{f}, \varphi_{2}\right\rangle \end{aligned}$$

性质3：

$$\lim _{n \rightarrow \infty}\left\langle T_{f}, \varphi_{n}\right\rangle=\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \varphi_{n}(x) d x=\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \varphi(x) d x =\left\langle T_{f}, \varphi\right\rangle$$

唯一性：

如果$T_{f_{1}}=T_{f_{2}}$，那么是否有$f_1=f_2$？答案是肯定的，原因如下

$$\begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} f_{1}(x) \varphi(x) d x&=\int_{-\infty}^{\infty} f_{2}(x) \varphi(x) d x \\ \int_{-\infty}^{\infty}\left(f_{1}(x)-f_{2}(x)\right) \varphi(x) d x&=0 \end{aligned}$$

由一一对应性，我们也用如下记号表示分布

$$\langle f, \varphi\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \varphi(x) d x$$

例子

现在将$\delta $看成增缓分布：

$$\langle\delta, \varphi\rangle=\varphi(0)$$

线性性：

$$\begin{aligned}\left\langle\delta, \varphi_{1}+\varphi_{2}\right\rangle &=\varphi_{1}(0)+\varphi_{2}(0)=\left\langle\delta, \varphi_{1}\right\rangle+\left\langle\delta, \varphi_{2}\right\rangle \\\langle\delta, \alpha \varphi\rangle &=\alpha \varphi(0)=\alpha\langle\delta, \varphi\rangle \end{aligned}$$

连续性：如果$\varphi_{n}(x) \rightarrow \varphi(x)$，那么

$$\left\langle\delta, \varphi_{n}\right\rangle=\varphi_{n}(0) \rightarrow \varphi(0)=\langle\delta, \varphi\rangle$$

分布的极限

假设$T_n$是增缓分布的序列，$\left\langle T_{n}, \varphi\right\rangle$对每个$\varphi \in \mathcal S$都成立。那么$T_n$收敛到增缓分布$T$，并且

$$\langle T, \varphi\rangle=\lim _{n \rightarrow \infty}\left\langle T_{n}, \varphi\right\rangle$$

来看一个具体的例子，考虑方波

$$R_{\epsilon}(x)=\frac{1}{\epsilon} \Pi_{\epsilon}(x)=\frac{1}{\epsilon} \Pi\left(\frac{x}{\epsilon}\right)=\left\{\begin{array}{ll}{\frac{1}{\epsilon}} & {|x|<\frac{\epsilon}{2}} \\ {0} & {|x| \geq \frac{\epsilon}{2}}\end{array}\right.$$

那么

$$\begin{aligned} \left\langle R_{\epsilon}, \varphi\right\rangle &=\int_{-\infty}^{\infty} R_{\epsilon}(x) \varphi(x) d x\\ &=\frac{1}{\epsilon} \int_{-\epsilon / 2}^{\epsilon / 2} \varphi(x) d x \\ &=\frac{1}{\epsilon} \int_{-\epsilon / 2}^{\epsilon / 2}\left(\varphi(0)+\varphi^{\prime \prime}(0) x+O\left(x^{2}\right)\right) d x\\ &=\varphi(0)+\frac{1}{\epsilon} \int_{-\epsilon / 2}^{\epsilon / 2} O\left(x^{2}\right) d x\\ &=\varphi(0)+O\left(\epsilon^{2}\right) \end{aligned}$$

所以

$$\lim _{\epsilon \rightarrow 0}\left\langle R_{\epsilon}, \varphi\right\rangle=\varphi(0) =\left\langle \delta, \varphi\right\rangle$$

所以方波的极限为$\delta $函数。

更一般的，如果函数$f(x)$满足

$$\begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) d x&=1\\ f_{p}(x)&=p f(p x), \quad p>0 \end{aligned}$$

那么

$$f_p \to \delta$$